深入解析：空间中线面垂直性的证明方法

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立体几何复盘：如何证明空间的线面垂直？

空间中的垂直关系分为三种：

“线垂直度”：包括共面垂直度和面外垂直度两种情况。

《线与面垂直》

《竖脸》

这三种纵向关系可以相互转化。

(1)由线的垂直度，可以推导出线与面的垂直度。这就是直线与平面垂直的判定定理，也是一个常规操作。

(2)由线面的垂直度，可以推导出线段线的垂直度。这就是直线与平面垂直的判定定理。

(3) 由线面垂直度还可推导出面面垂直度。

(4)由面的垂直度，可以推导出线与面的垂直度。

(5)此外，借助平行线，可以从垂直线推导出新的线平面；由两组线平面垂直（同一平面，不同直线），可以推导出直线平行；从两组垂直的线平面（同一直线（不同平面））可以推断出它们是平行的。

真题实例：线面垂直

2007年理数海南卷题18

如图所示，三棱锥中，边和边都是等边三角形，， 69504 是的中点。

（一）证明：飞机；

2007年数学海南试卷第18题【解答要点】

回答这个问题的关键如下：

（1）三线合一即可启动：

(2)是等腰直角三角形；由此可以推断出：，进一步推断：、

(3)是等腰三角形；取的中点并连接。根据这三行的组合，我们可以推导出：，因此我们有：平面：0 10-69519,010 -69520

综上所述，有两条路线可以推断出直线是垂直的；在这两条线路中，「三线合一」都起着关键作用。

2018年理数全国卷B题20

如图所示，三棱锥中、、、是的中点。

（1）证明：平面；

2018年全国数学试卷B【破解要点】

分析本题的已知条件可以看出：本题的模型与2007年海南造纸第18题高度相似，其特点如下：

是等边三角形，是等腰直角三角形；是等腰三角形；

是直角三角形；

如果连接，则连接

于是证明直线与平面垂直的必要要素就集齐了：。

等腰三角形的「三线合一」是回答这个问题的关键。

2012年理数北京卷题16

如图1所示，、、是、、01上的点0-69541沿着折叠到010-的位置69543为，如图2所示。

（一）验证：专机；

2012年数学北京卷【破解要点】

「欲证线面垂直，先证线线垂直.」几何图形平移、翻转后形状和大小不发生变化。

图1中，是直角；图2中，是直角，

「由线线垂直推出线面垂直」

「由线面垂直推出线线垂直」

「再由线线垂直推出线面垂直」：

飞机；

2012年理数大纲卷题18

如图所示，四棱锥中，底边是菱形，底边是、上的A点

（一）证明：飞机；

2012年数学大纲卷【破解要点】

从线垂直度推导出线与面垂直度是常用的方法。该方法的要求是在平面上找到两条与待证明直线垂直的相交直线。

在这个问题中，证明相对容易：

是菱形

上述过程中，将竖线从竖线上推出，然后再推出新的竖线。

找到另一对垂直的线。

观察，我们发现在已知条件下给出了多条线段的长度。

根据毕达哥拉斯定理很容易计算：

设的交点为点，则

所以我们得出结论：、

至此，证明直线与平面垂直所需的两对直线就组装好了。

本题特点为：「一对线线垂直是从线面垂直推出；另一结线线垂直关系则是用三角形的相似关系推出.」

2019年文数全国卷B题17

如图所示。文化的底面是一个正方形，点在边缘、99

（1）证明：平面；

注：理性数学和文学数学的问题1完全相同。

2019文数B17【破解要点】

是长方体

；

飞机；

问题1的证明过程可以概括为：

「由线线垂直推出线面垂直；线面垂直推出线线垂直；线线垂直推出线面垂直.」

2016年理数北京卷题17

如图，四角锥中，平面

t="ABCD" />，,,. （Ⅰ）求证∶平面; 2016年理数北京卷题17【破解要点】由面面垂直和线线垂直推出线面垂直：然后推出线线垂直：平面; 本题要点可概括如下：「由面面垂直推出线面垂直；由线面垂直推出线线垂直；再由线线垂直推出线面垂直.」

2016年文数全国卷B题19

如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点. 将沿折到的位置. （I）证明∶; 2016年文数全国卷B【破解要点】为了证明线面垂直，需要两对线线垂直：（1）由菱形的性质推出：（2）以上两对垂直关系，其实都从菱形的对角线相互垂直这一性质推导提出.

2016年理数全国卷B题19

如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点. 将沿折到的位置，（I）证明∶平面; 2016年理数全国卷B【破解要点】为证线面垂直，需要两对线线垂直. 其中一对是, 由「菱形的性质」得到；另外一对是, 由「勾股定理的逆定理」推出.

2020年理数全国卷A题18

如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，.是底面的内接正三角形，为上一点，. （1）证明∶平面; 2020年全国卷A【破解要点】仔细观察会发现：此模型中存在多个正三角形，其中最重要的是：; 首先，我们把单独画出来。注意这是一个正三角形，根据勾股定理可以推出：注意本题的模型具有很强的对称性，, 所以, 所以由于是正三角形，根据勾股定理的逆定理推出：同理可证：从而推出线面垂直：平面注意：在以上过程中，我们实际已经推出如下事实：是正三角形，而是三个全等的等腰直角三角形. 四面体是一个我们熟悉的四面体，在往年的高考数学中已经出现多次： 2016年文数全国卷A题18 2019年理数全国卷A题12