大家好，今天来为大家解答编程基础：深入浅出递归入门教程这个问题的一些问题点，包括也一样很多人还不知道，因此呢，今天就来为大家分析分析，现在让我们一起来看看吧！如果解决了您的问题，还望您关注下本站哦，谢谢~
简介
此卡的目的是回答以下问题：
什么是递归？递归是如何工作的？如何递归地解决问题？如何分析递归算法的时间复杂度和空间复杂度？如何更好地应用递归？
递归的原理
每次递归函数调用自身时，都会将给定问题转化为子问题。递归过程一直持续到子问题可以直接求解而无需进一步递归为止。
递归函数避免无限递归的必要属性：
递归结束条件(base cases) 一组规则(recurrence relation)，可以将所有其他情况还原为基本情况。递归函数可以从多个位置调用自身。
例子 翻转字符串
无效printReverse(const char *str) {
if (!*str) 返回； //基本情况
printReverse(str + 1);
putchar(*str);
}
递归函数
如果一个问题有递归解法，我们可以按照以下步骤来实现。
我们定义这个问题可以通过函数F(x) 来实现，其中X 是函数的输入，代表问题的范围。
在函数F(X)中，我们实现了以下步骤：
将问题拆分为更小的范围，。递归调用函数F(x_1),F(x_2),F(x_n)来求解X的子问题，最后对子问题的解进行处理，组合成X对应的解.
Recurrence Relation
定义：问题的解决方案与其子问题的解决方案之间的关系。
例子：Pascal"s Triangle
定义：阳辉三角形是一系列数字组成的三角形。在杨辉的三角形中，每行最左边和最右边的数字总是1。对于其余的数字，每个数字是上一行中它正上方的2个数字之和。
用数学公式来表达，递归关系是
基本情况是：
。
其中，代表第i行第j个数字。
Memoization 备忘录
递归过程中重复的计算
递归解通常非常符合直觉和容易编码。但大多数时候，在递归过程中，重复计算会导致性能损失。
备忘录法(Memoization)是避免重复计算的通用技术。
是的，这个词拼写正确，它不是Memorization。
定义：为了避免重复计算，我们可以将中间子问题的结果存储在缓存中，以便再次使用时不需要再次计算。
memo的实现可以通过hashmap来实现。特别是在OOP中，一般的Memoization可以使用装饰器来实现。
例子 斐波那契数
斐波那契数的解法有很多种，包括Binets法和公式法，时间复杂度为O(log n)，非常令人印象深刻。
Complexity Analysis 复杂度分析
递归算法的复杂度有时并不明显，需要通过一些例程来分析。
尾递归是一种特殊的技术，可以减少递归堆栈的使用并优化空间复杂度，使其与迭代算法相同。
Time Complexity 时间复杂度
递归算法的时间复杂度为：
O(T)=R * O(s),
其中，R为递归调用次数，O(s)为每次递归调用产生的计算复杂度。
一般来说，R比较难计算，O(s)的计算和非递归算法的时间复杂度分析是一样的。
借助执行树技术，我们可以更好地分析递归调用的次数。
执行树是展示特定情况下递归调用流程的树。每个节点代表一次调用，节点上的值代表调用的参数。
这棵树的节点数为R。
使用Memoization技术时需要特别注意执行树的变化。
Space Complexity 空间复杂度
递归算法的空间占用主要分为2部分：
递归相关非递归相关
recursion related
我们研究过编译原理的人都知道，每次函数调用都要压入栈：
函数的返回地址、函数参数和函数的局部变量。递归算法的函数调用栈的深度是从初始情况到基本情况。
non-recursion related
全局变量使用的空间主要分配在堆上。例如，用于记忆的哈希图。
Tail Recursion 尾递归
尾递归是一种递归调用，是递归函数的最后一条指令，并且函数中只有一次递归调用。
尾递归的一个很好的例子。请注意，non_tail_recursion 在最后一次递归调用后仍会计算。
公共类主要{
私有静态int helper_non_tail_recursion(int start, int [] ls) {
if (开始=ls.length) {
返回0；
}
//不是尾递归，因为它在递归调用返回后进行一些计算。
返回ls[start] + helper_non_tail_recursion(start+1, ls);
}
公共静态int sum_non_tail_recursion(int [] ls) {
if (ls==null || ls.length==0) {
返回0；
}
返回helper_non_tail_recursion(0, ls);
}
//------------------------------------------------
私有静态int helper_tail_recursion(int start, int [] ls, int acc) {
if (开始=ls.length) {
返回帐户；
}
//这是尾递归，因为最后的指令是递归调用。
返回helper_tail_recursion(start+1, ls, acc+ls[start]);
}
公共静态int sum_tail_recursion(int [] ls) {
if (ls==null || ls.length==0) {
返回0；
}
返回helper_tail_recursion(0, ls, 0);
}
}尾递归消除递归栈的原理：
编译器知道从被调用者返回后，会立即返回，不需要重用函数调用堆栈中保存的数据。只需要一个堆栈帧。所有层共享一个堆栈帧，因此返回时可以跳过整个递归堆栈。
并非所有语言编译器都支持尾递归优化。例如，支持C和C++，但不支持Python和Java。
尾递归通常也不那么容易实现。需要
递归调用只出现在最后一条指令中。如果需要调用多个函数或者计算返回值，尾递归是不可能的。
而且细心的同学可以发现尾递归和迭代（循环）的相似之处。事实上，有些函数式编程语言甚至不支持循环，只有递归、迭代才能完全实现。因为我们平时用循环居多，尾递归很少。如果需要写尾递归（通常是一些面试需求），可以先写循环版本的代码。然后尝试将局部变量更新更改为尾递归中的参数，通常可以编写优雅（但对大多数人来说可读性不太好）的尾递归代码。
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用户评论
递归？听得挺高端的，不过有点害怕深入了解呢。
有16位网友表示赞同！
终于有机会学习一下递归了，一直听别人说很有用的概念
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想做一些算法设计，感觉递归是必备技能啊！
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刚开始学编程，不知道递归是什么，希望能解释得通俗易懂。
有14位网友表示赞同！
之前看到过递归的例子，还挺神奇的感觉
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感觉递归像是在玩层层剥壳一样，很有趣
有8位网友表示赞同！
希望这篇文章能让我彻底明白递归的原理，而不是只是知道它是做什么用
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我以前一直搞不懂为什么要学习递归，现在看来确实很强大，可以解决很多问题的。
有18位网友表示赞同！
看了一些递归的例子，感觉应用场景蛮广的啊！
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准备好好学习一下递归，希望能写出像大神们一样优秀的代码
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这篇文章选题刚好，我最近也想入门递归。
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以前在考试的时候总看到递归，却从来没认真学过...
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期待一篇深入浅出的介绍递归的文章，把概念解释清楚!
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学习编程就 gotta learn recursion！
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想把递归应用到我的项目中去。
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感觉递归是一种很有逻辑思维挑战的编程方式。
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希望入门学习能够变得轻松愉快！
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感谢提供这个主题的文章，我很需要它！
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