探索数学之美：π的奥秘与重要性

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1965年，英国数学家约翰·沃利斯出版了一本数学专着，他在其中推导了一个公式，发现圆周率等于无限分数的乘积。 2015 年，罗切斯特大学的科学家在氢原子能级的量子力学计算中发现了相同的pi 公式。

2019年3月14日，谷歌宣布圆周率现已达到小数点后31.4万亿位。

历史发展

实验期

一块古老的巴比伦石匾（约公元前1900-1600 年）清楚地记录了pi=25/8=3.125。同一时期的古埃及文物莱茵德数学纸莎草纸也显示pi 等于分数16/9 的平方，约为3.1605。埃及人似乎很早就知道圆周率了。英国作家约翰·泰勒（John Taylor，1781-1864）在其名著《金字塔》（《The Great Pyramid: Why was it built, and who built it?》）中指出，建于公元前2500年左右的胡夫金字塔与圆周率有关。例如，金字塔的周长与其高度之比等于pi 之比的两倍，正好等于圆的周长与其半径之比。写于公元前800 年至600 年之间的古印度宗教文本《百道梵书》 (Satapatha Brahmana) 显示pi 等于分数339/108，约等于3.139。

几何周期

古希腊作为一个古老的几何王国，对圆周率做出了尤为突出的贡献。伟大的古希腊数学家阿基米德（公元前287-212年）在人类历史上开创了圆周率近似值的理论计算。从单位圆出发，阿基米德首先利用内接正六边形求出pi 的下界，即3，然后利用外接正六边形并利用毕达哥拉斯定理求出pi 的上界，即小于4然后，他将内接正六边形和外接正六边形的边数增加一倍，分别变成内接正十二边形和外接正十二边形，然后利用毕达哥拉斯定理改进下、上。圆周率的界限。他逐渐将内接正多边形和外切正多边形的边数增加一倍，直到它们内接正96边正多边形和外接96边正多边形。最后，他发现圆周率的下界和上界分别为223/71和22/7，并取它们的平均值3.141851作为圆周率的近似值。阿基米德两边使用了迭代算法和数值逼近的概念，堪称“计算数学”的鼻祖。

在中国古代算术书《周髀算经》（约公元前2世纪）中，有“一径三周”的记载，即取的意思。汉代时，张衡推导出，即（约3.162）。这个值不是很准确，但是简单易懂。

公元263年，中国数学家刘徽用“切圆术”计算了圆周率。他首先从一个圆内接一个正六边形开始，然后一步步分割，直到圆内接一个正六边形。他说：“如果切得太细，损失就很少。如果一次又一次地切，直到切不动，它就会融入圆圈，就不会损失任何东西。”，其中包含了这样的想法寻求极限。刘辉给出了=3.141024的近似值。刘徽求得pi=3.14的值后，将此值与晋代汉代兵工厂制作的铜体积测量标准贾良虎的直径和体积进行比较，发现该值是3.14。仍然偏小。于是我继续把圆切到1536个多边形，求出3072个多边形的面积，得到了满意的圆周率。

公元480年左右，南北朝数学家祖冲之进一步得到了精确到小数点后7位的结果，其不足近似为3.1415926，剩余近似为3.1415927。他还得到了两个近似分数值，密度比和压缩比。密度是一个很好的分数近似值，您需要获得比稍微更准确的近似值。（参见丢番图近似）

在接下来的800年里，祖冲之计算出的值是最准确的。西方直到1573 年才由德国人Valentinus Otho 获得密度。它发表于1625年荷兰工程师安东尼乌斯（Metius）的作品中，在欧洲被称为梅蒂乌斯数。

公元530 年左右，印度数学大师Aryabhata 计算出pi 约为。婆罗摩笈多用了另一种方法，推导出pi 等于10 的算术平方根。

15世纪初，阿拉伯数学家卡西兹将圆周率的精确值计算到了小数点后17位，打破了祖冲之近千年的记录。德国数学家Ludolph van Ceulen在1596年将的值计算到小数点后20位，然后在1610年毕生致力于将其计算到小数点后35位。他所使用的这个值被称为鲁道夫数。

分析期

这一时期，人们开始用无穷级数或无穷连续积来求，摆脱了可割圆的复杂计算。无穷乘积表达式、无穷连分数、无穷级数等各种值表达式相继出现，使得值计算的精度迅速提高。

第一个快速算法是由英国数学家John Machin 提出的。 1706年，马钦计算出的值超过了小数点后100位。

其中arctan x 可以通过泰勒级数计算。类似的方法称为“Mechin 型公式”。

斯洛文尼亚数学家Jurij Vega 在1789 年计算了圆周率的前140 位十进制数字，其中只有137 位是正确的。这个世界纪录保持了五十年。他使用了梅钦于1706年提出的公式。

到1948年，英国的D. F. Ferguson和美国的Renzi联合发表了的808位十进制值，成为手动计算值的最高记录。

计算机时代

电子计算机的出现带动了值计算的快速发展。 1949年，世界上第一台计算机在美国制造——ENIAC（电子计算机）

圆周率

数值积分器和计算机）在阿伯丁试验场推出。次年，Rietweisner、von Neumann 和Medoplis 使用这台计算机将计算到小数点后2037 位。计算机仅用了70 个小时就完成了这项工作，扣除插入打孔卡的时间后，平均需要两分钟计算一个数字。五年后，IBM NORC（海军军械研究计算机）仅用了13 分钟就将计算到了小数点后3089 位。随着技术不断进步，计算机变得越来越快。从20世纪60年代到1970年代，随着美国、英国、法国的计算机科学家不断在计算机上展开竞争，的值变得越来越准确。 1973 年，Jean Guillou 和Martin Bouyer 使用计算机CDC 7600 发现了pi 小数点后的百万位。

1976年，出现了新的突破。尤金·萨拉明（Eugene Salamin）发表了一个新公式，这是一种二次收敛算法，这意味着每次计算，有效数字都会加倍。高斯以前也发现过类似的公式，但它非常复杂，在计算机之前的时代并不可行。该算法称为Brent-Salamin（或Salamin-Brent）算法，也称为Gauss-Legendre算法。

1989年，美国哥伦比亚大学的研究人员使用Cray-2和IBM-3090/VF巨型计算机将的值计算到小数点后4.8亿位，然后继续计算到小数点后10.1亿位观点。 2010 年1 月7 日—— 法国工程师Fabrice Bella 将pi 计算到小数点后2.7 万亿位。 2010 年8 月30 日—— 日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机和云计算的结合，将圆周率计算到小数点后5 万亿位。

2011年10月16日，日本长野县饭田市的公司员工近藤茂用家用电脑将圆周率计算到小数点后10万亿位，打破了他自己创下的5万亿位吉尼斯世界纪录。 2010 年8 月。 56 岁的近藤茂使用的是他自己组装的电脑。从十月份开始，他花了大约一年的时间才创下这一纪录。

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