数学建模笔记：初探插值拟合方法（第一部分）

时间：11-07 名人轶事提交错误

很多朋友对于数学建模笔记：初探插值拟合方法（第一部分）和不太懂，今天就由小编来为大家分享，希望可以帮助到大家，下面一起来看看吧！

好吧，今天我要讲的是插值和拟合。插值和拟合是两种不同的数值计算方法，插值算法和拟合算法分别有多种不同。在我学习的《数值计算》节课中，这两部分好像是三四节课讲的。因为在课堂教学过程中，需要对各种算法进行严格的证明和数学推导。

由于篇幅和个人能力的限制，本文没有涉及太多的数学证明和推导（嗯，基本没有推导）。其实很多经典建模教材并没有做太多的推论，而是以介绍和应用为主。因此，欢迎想要深入了解插值与拟合的同学，参加自学课程《数值计算》。

插值

首先我们来谈谈插值。为什么需要插值？因为在很多实际问题中，我们想要研究一个变量与另一个变量之间的关系，而我们往往只能通过观察来获得一组值。对于两个变量之间的函数关系，我们往往很难通过某种解析公式或者某种图像来表达。换句话说，我们只有一组数据，我们根本不知道变量之间的具体函数关系。

这提出了一个问题。例如，假设我们观察“距海岸的距离”和“海水深度”之间的关系。现在我们以海岸线的位置为0，每隔50米或100米测量一次海水的深度，得到很多组数据。现在的问题是，如果我们想知道距海岸线326米处的海水深度，如何求得呢？

嗯，最简单的方法就是到326米去测量一下。这确实是最准确的方法。但如果要测量的点很多，考虑到时间等成本，一一测量可能不太现实。因此，我们需要不同的方法来解决此类问题。即已知和之间的一些点对应的值为：。我们想要找到节点之间某处的函数值。插值法是解决此类问题的合适方法。

什么是插值？很简单，插值就是找到一个比较简单的满足的函数，然后用函数找到之间某处的函数值。即找到一个函数来替换作为的合理近似值。

首先举个例子。

上图是我在函数中取出7个点。现在假设我们不知道这是一个正弦函数。我们只知道这7个点的坐标。如何找到的函数值？想要找到它是不可能的。我不知道如何找到该函数，但我们可以使用插值法来找到近似解。

一个非常简单的想法是分段线性插值，它用一条直线连接两个相邻点。这种方法应该很容易理解。我们希望用一个简单的函数来代替。最简单的函数应该是线性函数。好吧，让我们做一些插值。

不，这是分段线性插值的结果。如果我们现在想要找到处的值，那就比较简单了。解出两点和之间的直线方程，然后代入，就可以了。

可见，上述插值方法过于简单，可能与实际曲线不一致。在实际问题中，很少存在这种纯线性函数关系。因此我们可以使用一些高阶多项式进行插值，例如分段三次Hermite插值。只看结果。

是不是感觉顺滑了很多？事实上，它可以更顺利。让我们尝试一下使用三次样条插值。结果也直接发布。

最后，我们将上面提到的三个插值和原始函数放在一起看一下结果。

可以看出，三次样条插值最接近原始曲线，分段线性插值距离原始曲线最远。这是否意味着三次样条插值必须优于三次Hermite 插值和线性插值？当然不是，具体问题还是需要具体分析。如果两个变量之间的线性相关性高达99%，那为什么还需要进行三次插值呢？然而，自然界和工业中的各种曲线往往是比较平滑的，因此我们经常使用三次样条插值函数。

上面只是一个简单的例子，让大家对插值有一个更直观的印象。其实很简单。就是求一个函数，要求函数曲线经过一个已知点。然后用这样的函数来代替原来的函数，找到某个位置对应的函数值，用这个近似值来代表真实值。接下来我们简单介绍一下matlab中的几种插值算法以及相应的函数。

插值算法有很多种，比如拉格朗日插值、牛顿插值、最近邻插值等。不过，这里我介绍一下比较常用的插值方法，即上面提到的分段线性插值、分段三次Hermite插值和三次样条插值插值。这三种插值方法有一个共同的特点，就是在给定点的每一小段处确定一个函数表达式，并将其相加作为最终的表达式。嗯，也就是说，这是一个分段函数。查找之间的函数，查找之间的函数，依此类推.

为什么不直接找到一个函数表达式呢？因为当插值点较多且我们不进行分割时，最终函数的阶数会较高，高阶多项式会在插值区间内产生严重的振荡，称为“龙格现象”。因此，我们倾向于使用分段低阶多项式来逼近原始函数。拉格朗日插值和牛顿插值最终都会产生一个函数，因此这里不再介绍。如果大家有兴趣的话，可以自己去了解一下。嗯，下图是展示龙格现象的图片。黑色实线代表原始函数，n代表插值多项式的次数。显然，阶数越高，振荡越明显。如果您想了解更多，请自行研究相关内容。

分段线性插值

分段线性插值不用说，很简单，就是在相邻区间用直线逼近原函数。使用分段线性插值计算点的近似函数值时，仅使用周围的两个节点，而不管其他节点。当然，越大，段数越多，插值误差越小。在实际使用中，常用于计算数学、物理中的特殊函数表、数理统计中的概率分布表等，在建模过程中，还可以用于填充缺失数据。

在matlab中，用于插值的函数是函数，最后一个是数字，而不是字母。表示一维数据。

通过help命令，我们可以看到interp1的使用形式。点击下方“interp1参考页面”，进入该函数的帮助文档页面。在vq=interp1(x,v,xq,method) 中，向量x 包含样本点，v 包含对应的值v(x)。向量xq包含查询点的坐标，vq返回相应的插值结果。 method 指定插值方法，例如“线性”、“最近”、“下一个”、“上一个”、“样条”。默认方法是“线性”。所以如果我们要做线性插值就很简单了，代码如下。

x=0:2*pi; %生成[0,2*pi]之间的整数值

y=正弦(x); %生成对应的函数值

plot(x,y,"or");%画一个点

xx=0:0.01:2*pi;%这是查询点的坐标向量

yy=interp1(x,y,xx,"线性"); %yy为查询点向量对应的函数值向量

plot(x,y,"o",xx,yy,"r");%画图

xx=1.23;%也可以只查询一个元素

yy=interp1(x,y,xx,"线性");%嗯，还是这样

plot(x,y,"o",xx,yy,"or");%画一幅画。嗯，这很简单，对吧？顺便说一句，线性插值至少需要两个点。我们还可以看到，线性插值有一个明显的缺点，就是不够平滑。没办法，毕竟是一条直线。

分段三次Hermite（埃尔米特）插值

分段三次埃尔米特插值比分段线性插值的数据要求略高。假设是[a，b]和之间互不相同的节点。嗯，也就是说，我们不仅需要知道对应的函数值，还需要知道对应的函数导数值。

因此，我们对对应的插值函数有以下三个要求：

在上一阶可微；；是每个的三次函数。满足上述三个条件的插值函数称为分段三次埃尔米特插值函数。

可以发现，三次埃尔米特插值与线性插值相比有两个特点。首先，它不仅要求插值函数经过相应的已知点，而且要求函数曲线在已知点处的一阶导数值等于原函数的导数值。这就是为什么三次埃尔米特函数在已知点处更平滑的原因。并且更接近原始曲线。其次，它使用三次多项式作为每个小段的插值多项式。与线性函数相比，三次多项式更加平滑。综上所述，与线性插值相比，三次埃尔米特插值得到的函数曲线更加平滑，更接近原始曲线。

matlab中用于三次Hermite插值的函数是。当然，你也可以使用上面提到的加上参数。

x=0:2*pi; %生成[0,2*pi]之间的整数值

y=正弦(x); %生成对应的函数值

plot(x,y,"or");%画一个点

xx=0:0.01:2*pi;%这是查询点的坐标向量

yy=interp1(x,y,xx,"pchip"); %yy为查询点向量对应的函数值向量。注意最后一个参数

plot(x,y,"o",xx,yy,"r");%画图

xx=1.23;%也可以只查询一个元素

yy=pchip(x,y,xx);%也可以这样

plot(x,y,"o",xx,yy,"or");%绘制图片顺便说一句，在matlab中使用三次埃尔米特插值函数时，至少需要四个插值点。

三次样条插值

所谓样条曲线，就是在几个采样点处压上一根带有重物的弹性细长木条（样条），其他位置自由弯曲。这样，由样条形成的曲线就称为样条曲线。样条曲线实际上是由分段三次曲线连接而成，并且在连接点处具有连续的二阶导数。从数学上概括，得到三次样条的概念。

与三次埃尔米特插值相比，三次样条函数增加了一些条件。假设三次样条函数为。那么除了满足，即经过已知点外，还需要满足，即各线段的端点重合。

另外，还需要满足，即端点处的一阶平滑度。，这是端点处的二阶平滑度。我们可以看到，相对于埃尔米特插值，不仅对一阶导数有要求，而且对二阶导数也有要求。因此，与埃尔米特插值相比，样条插值得到的曲线更加平滑。

上面的等式条件提供了个方程（你可以自己数一下），但是如果我们需要个三次多项式，我们需要求解个未知数，这意味着我们需要个方程。其余两个方程称为边界条件。

边界条件主要分为三类：

第一类边界条件：给定函数在端点处的一阶导数，即。第二类边界条件：给定函数在端点处的二阶导数，即。当时，这个条件称为自然边界条件。第三类边界条件：如果是周期函数，是周期，则要求也是周期函数，满足。在MATLAB中，如果三次样条插值没有边界条件，最常见的方法是使用无结终止条件进行插值。该条件要求第一个和第二个三次多项式的三阶导数相同，并且倒数第二个和倒数第二个三次多项式的三阶导数具有相同的值。使用的函数可以是或。同样，至少需要知道四点。

x=0:2*pi; %生成[0,2*pi]之间的整数值

y=正弦(x); %生成对应的函数值

plot(x,y,"or");%画一个点

xx=0:0.01:2*pi;%这是查询点的坐标向量

yy=interp1(x,y,xx,"样条线"); %yy为查询点向量对应的函数值向量。注意最后一个参数

plot(x,y,"o",xx,yy,"r");%画图

xx=1.23;%也可以只查询一个元素

yy=spline(x,y,xx);%也可以这样

plot(x,y,"o",xx,yy,"or");%画图（一段代码用了三遍hhh）

如果存在边界条件，我们使用函数进行三次样条插值。

但在具体建模中，边界条件往往不直接给出，所以用得最多的是函数。事实上我们可以发现它的效果还是相当不错的。至于函数的使用，自己看吧~另外还有维的数据插值。使用的函数有

mg src="https://math.jianshu.com/math?formula=interpn" alt="interpn" />，这里我就不讲了，大家自行了解一下。以上就是插值我想分享的全部内容了，其实没有太多的数学推导以及证明，只进行了简单的介绍以及使用。嗯，如果想知道更加详细的内容，例如拉格朗日插值，牛顿插值法等等，还是自行学习吧~如果想知道具体的推导，也可以参考相应的资料。这里我就不说了。

OK，本文到此结束，希望对大家有所帮助。